Question

設(shè)A(x1，y1)，B(4，

9

5

)，C(x2，y2)是右焦點(diǎn)為F的橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列”是“x₁+x₂=8”的（　　）

• A、充要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分不必要條件
• D、既非充分也非必要

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程求得右準(zhǔn)線方程，進(jìn)而分別求得A、B、C到右準(zhǔn)線的距離進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義用e和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離表示出|AF|，|BF|，|CF|，進(jìn)而可知丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列等價(jià)于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8推斷出結(jié)論．

解答：解：右準(zhǔn)線為：x=

a2

c

=

25

4

設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離為d₁、d₂、d₃
d₁=

25

4

-x₁，d₂=

9

4

，d₃=

25

4

-x₂
由橢圓的第二定義（點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線距離的e倍，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線）
丨AF丨=ed₁、丨BF丨=ed₂、丨CF丨=ed₃
丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列等價(jià)于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8
∴“丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列”是“x₁+x₂=8的充要條件．

點(diǎn)評(píng)：這道題目綜合考查了解析幾何中橢圓的性質(zhì)（人教版選修2-1第三章）與簡易邏輯中的命題的基本關(guān)系（人教版選修2-1第一章），可以認(rèn)為這是一道以簡易邏輯為背景的解析幾何題目．