Question

．（本題滿分12分）

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，是橢圓+=(a＞b＞0)上的兩點，已知向量m=(，)，n=(，)，若m·n=0且橢圓的離心率e=，短軸長為2，O為坐標原點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(Ⅰ)2b=2.b=1，e=

橢圓的方程為                       ………………………4分

(Ⅱ)(1)當直線AB斜率不存時，即x₁=x₂，y_{1= -}y₂，由＝0

                     ………………………6分

又A(x₁,y₁)在橢圓上，所以

S＝

所以三角形的面積為定值                     … …………7分

(2)當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+b

得到x₁+ x₁=

                             ………………………8分

代入整理得：

2b²- k² =4                                ………………………10分

所以三角形的面積為定值.                 ……………………12分

 

【解析】略