Question

如圖2-9,已知△ABC中,∠ABC的平分線交AC于F,交△ABC的外接圓于E,ED切圓于E,交BC的延長線于D.求證:AE²=AF·DE.

圖2-9

Answer 1

思路分析:題目中的四條線段不能組成兩個相似的三角形,所以利用平行將AE換成EC,根據△AFE∽△ECD得到比例式,再換回線段即可.

證明:連結EC.?

∵四邊形ABCE內接于⊙O,?

∴∠7=∠3+∠5.?

又∵∠5=∠2,∠2=∠1,?

∴∠7=∠3+∠1.?

∵∠4=∠3+∠1,∴∠7=∠4.?

∵DE切⊙O于E,EC為弦,?

∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.?

∴=,即AE·EC =DE·AF.?

∵∠1=∠2,∴ =.?

∴AE =EC.∴AE² =DE·AF.