Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)L的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立?若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，詳見解析.

【解析】

（1）設(shè)，可得直線L方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式即可得，利用離心率即可得，再利用求得后即可得解；

（2）設(shè)，，則，按照直線L的斜率是否為0分類，當(dāng)直線L斜率不為0時(shí)，設(shè)直線L的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理即可得、，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程求得后即可得解.

（1） 設(shè)，當(dāng)L的斜率為1時(shí)，其方程為，

則原點(diǎn)O到直線L的距離為，解得，

由橢圓的離心率，可得，，

所以橢圓方程為；

（2）假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立.

設(shè)，，則，

由（1）知，橢圓C的方程為，

當(dāng)直線L斜率為0時(shí)，點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)直線L斜率不為0時(shí)，設(shè)直線L的方程為，

由，消去x化簡得，，

所以，

所以，

所以點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

化簡得，解得或（舍去），

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，直線L的方程為即；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，直線L的方程為即.

綜上，橢圓C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立，此時(shí)直線方程為.