Question

【題目】如圖，正三棱柱中，為的中點.

（1）求證：；

（2）若點為四邊形內部及其邊界上的點，且三棱錐的體積為三棱柱體積的，試在圖中畫出點的軌跡，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，首先證明平面得到，在正方形中，利用三角形全等可得，進而得到平面，即可得到結論；（2）取中點，連接，則線段為點的運動軌跡，可通過和證得平面可得結論.

試題解析：（1）證明：取的中點，連接，

∵平面，平面，

∴所以．

∵為正三角形，為的中點，∴，

又∵平面，，

∴平面，

又∵平面，所以

正方形中，∵，∴，

又∵，

∴，故，

又∵，平面，

∴平面，

又∵平面，∴．

（2）取中點，連接，則線段為點的運動軌跡．理由如下．

設三棱錐的高為，

依題意

故．

因為分別為中點，故，又因為平面，平面，

所以平面，所以到平面的距離為．