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（2009•上海模擬）已知函數f（x）=x²-2tx+1，x∈[2，5]有反函數，且函數f（x）的最大值為8，求實數t的值．

分析：二次函數存在反函數，則它一定是區間[2，5]上的單調函數，函數f（x）=x²-2tx+1的對稱軸為x=t，通過討論對稱軸與區間[2，5]的關系，可求函數的最大值，函數f（x）的最大值為8，解方程可求得t值

解答：解：因為函數有反函數，所以在定義域內是一一對應的函數f（x）=x²-2tx+1的對稱軸為x=t，所以t≤2或t≥5
若t≤2，在區間[2，5]上函數是單調遞增的，所以f（x）_max=f（5）=25-10t+1=8，解得t=

，符合
若t≥5，在區間[2，5]上函數是單調遞減的，所以f（x）_max=f（2）=4-4t+1=8，解得t=-

，與t≥5矛盾，舍去
綜上所述，滿足題意的實數t的值為

點評：本題考查了函數反函數存在的充要條件以及二次函數最大值的求法，解題時要學會分類討論，做到不重不漏

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）在解決問題：“證明數集A={x|2＜x≤3}沒有最小數”時，可用反證法證明．假設a（2＜a≤3）是A中的最小數，則取a′=

a+2

，可得：2=

2+2

＜a′=

a+2

＜

a+a

=a≤3，與假設中“a是A中的最小數”矛盾！那么對于問題：“證明數集B={x|x=

，m，n∈N*，并且n＜m}沒有最大數”，也可以用反證法證明．我們可以假設x=

是B中的最大數，則可以找到x'=

n0+1

m0+1

n0+1

m0+1

（用m₀，n₀表示），由此可知x'∈B，x'＞x，這與假設矛盾！所以數集B沒有最大數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

，求實數a的值；
（2）已知關于x的不等式sinxcosx+

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過

，求實數b的取值范圍；
（3）已知關于x的不等式組

x+1

＞1

log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集構成的各區間長度和為6，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）已知全集U=R，集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，B={x||x-2|＜2，x∈R}，那么集合A∩B=

{x|0＜x≤3}

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）已知集合A={z|z=1+i+i²+…+iⁿ，n∈N^*}，B={ω|ω=z₁•z₂，z₁、z₂∈A}，（z₁可以等于z₂），從集合B中任取一元素，則該元素的模為

的概率為

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）已知點列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）順次為直線y=

上的點，點列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．
（1）證明：數列{y_n}是等差數列；
（2）求證：對任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；
（3）對上述等腰三角形A_nB_nA_n+1添加適當條件，提出一個問題，并做出解答．（根據所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）

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