Question

曲線C是平面內與定點F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點的軌跡．給出下列四個結論：
①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于x軸對稱；
③曲線C與y軸有3個交點；
④若點M在曲線C上，則|MF|的最小值為2(

2

-1)．
其中，所有正確結論的序號是______．

Answer 1

設動點的坐標為（x，y），
∵曲線C是平面內與定點F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點的軌跡，
∴

(x-2)2+y2

•|x+2|=4，
∵當x=0時，y=0，∴曲線C過坐標原點，故①正確；
∵將

(x-2)2+y2

•|x+2|=4中的y用-y代入該等式不變，
∴曲線C關于x軸對稱，故②正確；
令x=0時，y=0，故曲線C與y軸只有1個交點，故③不正確；
∵

(x-2)2+y2

•|x+2|=4，
∴y²=

16 (x+2)2 -(x-2)2

≥0，解得-2

2

≤x≤2

2

，
∴若點M在曲線C上，則|MF|=

(x-2)2+y2

=

4

|x+2|

≥

4

2+2 2

=2(

2

-1)，故④正確．
故答案為：①②④．