Question

【題目】若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點.已知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）若在區間上有且只有一個極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值；（2）.

【解析】

(1)求出，令求出方程的解，從而探究隨的變化情況，即可求出極值.

(2)求出，令，分，，三種情況進行討論，結合零點存在定理求出實數的取值范圍.

解：（1）當時，的定義域為，，

令，解得，則隨的變化如下表，

故在上是減函數，在上是增函數；

故在時取得極小值；

（2）函數的定義域為，，

令，則，

當時，在恒成立，故在上是增函數，

而，故當時，恒成立，

故在區間上單調遞增，故在區間上沒有極值點；

當時，由（1）知，在區間上沒有極值點；

當時，令，解得或（舍去）；

故在上是增函數，在上是減函數，

①當，即時，

在上有且只有一個零點，且在該零點兩側異號，

②令得，不符合題意；

③令得，所以，

而，又，

所以在上有且只有一個零點，且在該零點兩側異號，

綜上所述，實數的取值范圍是.