【題目】如圖，在三棱柱
中，已知四邊形
為矩形，
，
，
，
的角平分線
交
于
.
（1）求證:平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）過點
作
交
于
，連接
，設
，連接
，由角平分線的性質，正方形的性質，三角形的全等，證得
，
，由線面垂直的判斷定理證得
平面
，再由面面垂直的判斷得證.
（2）平面幾何知識和線面的關系可證得
平面
，建立空間直角坐標系
，求得兩個平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.
（1）如圖，過點作交于，連接，設，連接，
，
，
又
為
的角平分線，
四邊形
為正方形，
，
又
，
，
，
，
，又
為
的中點，
又
平面，
，
平面，
又
平面，平面
平面，
（2）在
中，
，
，
，在
中，
，
，
又
，
，
，
，
又
，，
平面，
平面，
故建立如圖空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
，
，
設平面
的一個法向量為
，則
，
，
令
，得
,
設平面
的一個法向量為
，則
，
，令
，得
，由圖示可知二面角
是銳角，
故二面角的余弦值為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨著
年北京冬奧會臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運動人數(shù)快速上升，冰雪運動市場需求得到釋放，將引領戶外用品行業(yè)市場增長．下面是
年至
年中國雪場滑雪人次（萬人次）與同比增長率的統(tǒng)計圖，則下面結論中不正確的是（ ）
A.
年至年，中國雪場滑雪人次逐年增加
B.年至
年，中國雪場滑雪人次和同比增長率均逐年增加
C.年與年相比，中國雪場滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增長人數(shù)也近似相等
D.年與
年相比，中國雪場滑雪人次增長率約為
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的極坐標方程為
，以極點
為原點，極軸所在直線為
軸建立直角坐標系，過點
作傾斜角為
（
）的直線
交曲線于
、
兩點.
（1）求曲線的直角坐標方程，并寫出直線的參數(shù)方程；
（2）過點的另一條直線
與垂直，且與曲線交于
，
兩點，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記
表示學生的考核成績，并規(guī)定
為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：
（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學生考核優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）從圖中考核成績滿足
的學生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；
（Ⅲ）記
表示學生的考核成績在區(qū)間
的概率，根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù)，規(guī)定當
時培訓有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某快餐連鎖店，每天以200元的價格從總店購進早餐，然后以每份10元的價格出售．40份以內，總店收成本價每份5元，當天不能出售的早餐立即以1元的價格被總店回收，超過40份的未銷售的部分總店成本價回收，然后進行環(huán)保處理．如果銷售超過40份，則超過40份的利潤需上繳總店．該快餐連鎖店記錄了100天早餐的銷售量（單位：份），整理得下表：
日銷售量 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
頻數(shù) | 10 | 16 | 28 | 24 | 14 | 8 |
完成下列問題：
（1）寫出每天獲得利潤
與銷售早餐份數(shù)
（
）的函數(shù)關系式；
（2）估計每天利潤不低于150元的概率；
（3）估計該快餐店每天的平均利潤．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖①，在平面五邊形
中，
是梯形，
，
，
，
，
是等邊三角形.現(xiàn)將沿
折起，連接
、
得如圖②的幾何體.
（1）若點
是
的中點，求證：
平面
；
（2）若
，在棱上是否存在點
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面為直角梯形，
，
，
，
，平面
平面
，點
在
上，且
．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）當異面直線
與
所成角的余弦值為
時，求二面角
的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
在
處取得極大值或極小值，則稱
為函數(shù)的極值點.已知函數(shù)
.
（1）當
時，求
的極值；
（2）若在區(qū)間
上有且只有一個極值點，求實數(shù)
的取值范圍.
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