Question

請使用向量法證明：等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，且|BD|=

1

3

|BC|，|CE|=

1

3

|CA|，AD，BE相交于點P，求證：AP⊥CP．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由于B，P，E三點共線，根據共線定理可得：存在實數λ使得

AP

=(1-λ)

AB

+λ

AE

=(1-λ)

AB

+

2

3

λ

AC

．同理A，P，D三點共線，可得存在實數μ使得

AP

=μ

AD

．化簡整理，再根據平面向量基本定理可得λ，μ．利用三角形法則可得

CP

=

CD

+

DP

．根據平面向量基本定理，把

AP

，

CP

都用

AB

，

AC

表示，再利用數量積運算即可得出．

解答： 解：∵B，P，E三點共線，∴存在實數λ使得

AP

=(1-λ)

AB

+λ

AE

=(1-λ)

AB

+

2

3

λ

AC

．
∵A，P，D三點共線，∴存在實數μ使得

AP

=μ

AD

，
又

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

1

3

BC

=

AB

+

1

3

(

BA

+

AC

)=

2

3

AB

+

1

3

AC

，
∴

AP

=

2

3

μ

AB

+

1

3

μ

AC

．
根據平面向量基本定理可得：

1-λ= 2 3 μ 2λ 3 = 1 3 μ

，解得

λ= 3 7 μ= 6 7

．
∴

AP

=

6

7

AD

．
∴

AP

=

4

7

AB

+

2

7

AC

．
∴

CP

=

CD

+

DP

=

2

3

CB

+

1

7

DA

=

2

3

(

AB

-

AC

)+

1

7

(-

2

3

AB

-

1

3

AC

)=

4

7

AB

-

5

7

AC

．
不妨設AB=AC=2，則

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cos60°=2×2×

1

2

=2．
∴

AP

•

CP

=(

4

7

AB

+

2

7

AC

)•（

4

7

AB

-

5

7

AC

）
=

2

49

(8

AB

2-5

AC

2-6

AB

•

AC

)
=

2

49

(8×22-5×22-6×2)
=0．
∴

AP

⊥

CP

．
即AP⊥CP．

點評：本題考查了向量三角形法則、向量共線定理、平面向量基本定理、數量積運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．