Question

已知分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．① 求證：；② 若弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

【命題意圖】本題考查直線與橢圓的方程等相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，較難題．

【答案】（Ⅰ）由題，，由點(diǎn)在橢圓上知，則有：

，又，

以上兩式可解得，．所以橢圓．                                            ……4分

（Ⅱ）① 設(shè)，則直線：、直線：，

兩式聯(lián)立消去得：；

同理：直線：、：，聯(lián)立得：．……6分

欲證：，只需證：，只需證：，

等價(jià)于：，

而，，所以，

故有：．                                                                                                 ……9分

② (ⅰ)當(dāng)時(shí)，由可求得：；                                  …10分

(ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，

由（Ⅱ）知：，

將，代入上式得：，

解得，由①知．

綜合(ⅰ) (ⅱ)，，故直線：．                                    …