Question

已知圓x²+y²=4與y軸的兩個交點分別為A，B，以A，B為焦點，坐標軸為對稱軸的雙曲線與圓在y軸左方的交點分別為C，D，當梯形ABCD 的周長最大時，求此雙曲線的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的求值,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意，設D（-2cosa，-2sina），C（-2cosa，2sina），a∈（0，

π

2

），A（0，-2），B（0，2），表示出CD=4sina，AB=4，AD=BC=

4(cosa)2+(2sina-2)2

=2

2

1-sina

=2

2

[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]=4cos（

a

2

+

π

4

），通過三角函數化簡可得周長=4+4[1-2cos²（

a

2

+

π

4

）]+8cos（

a

2

+

π

4

）=-8cos²（

a

2

+

π

4

）+8cos（

a

2

+

π

4

）+8，從而利用二次函數的最值求得a=

π

6

時梯形ABCD 的周長最大，從而確定點C、D；進而求出a，b；從而求此雙曲線的方程．

解答： 解：由題意，設D（-2cosa，-2sina），C（-2cosa，2sina），a∈（0，

π

2

），A（0，-2），B（0，2），
則CD=4sina，AB=4，
AD=BC=

4(cosa)2+(2sina-2)2

=2

2

1-sina

=2

2

[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]=4cos（

a

2

+

π

4

），
則周長=AB+CD+2BC=4+4sina+8cos（

a

2

+

π

4

），
又由sina=-cos（a+

π

2

）=1-2cos²（

a

2

+

π

4

），
則周長=4+4[1-2cos²（

a

2

+

π

4

）]+8cos（

a

2

+

π

4

）
=-8cos²（

a

2

+

π

4

）+8cos（

a

2

+

π

4

）+8，
則cos（

a

2

+

π

4

）=-

8

-2×8

=

1

2

，即a=

π

6

時，
梯形ABCD 的周長最大，
此時，點D（-

3

，-1），
DA=

3+1

=2，DB=

3+9

=2

3

，
則a=

2 3 -2

2

=

3

-1，
a²=4-2

3

，則b²=c²-a²=2

3

，
則所求雙曲線的方程為：

y2

4-2 3

-

x2

2 3

=1．

點評：本題考查了雙曲線的定義及兩點間的距離公式等，重點考查了三角恒等變換及最值，屬于中檔題．