Question

．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，，直線與的斜率之積為.
（I）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程;
（II）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(不重合)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn).

本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓位置關(guān)系的運(yùn)用。利用橢圓的幾何性質(zhì)，來(lái)表示得到a,b,c的值，從而解得方程，然后設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理，運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)表示坐標(biāo)，同時(shí)借助于題目中向量的關(guān)系式，得到坐標(biāo)的關(guān)系，消去坐標(biāo)，得參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求解得到。
解一：（1）由題知：…………2分
化簡(jiǎn)得：……………………………4分
（2）設(shè)，:，
代入整理得…………6分
，，………………………………8分
的方程為
令，
得………10分
直線過(guò)定點(diǎn).………………12分
解二：設(shè)，:，
代入整理得…………6分
,，…………8分
的方程為
令，
得……10分
直線過(guò)定點(diǎn).…………12分
解三：由對(duì)稱(chēng)性可知，若過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)一定在軸上，
設(shè)，:，
代入整理得…………6分
,，…………8分
設(shè)過(guò)定點(diǎn)，則，而
則

…………10分
直線過(guò)定點(diǎn).…………12分