Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；，是過點且相互垂直的兩條直線，交橢圓E于，兩點，交橢圓E于，兩點，，的中點分別為，．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍；
（3）求證直線與直線的斜率乘積為定值．

Answer 1

（1）． （2）． （3）

本試題主要是考出了橢圓方程的求解，已知直線與橢圓的位置關系的運用，求解直線的斜率問題，韋達定理的運用，以及判別式的綜合運用。
（1）結合橢圓的性質，得到關于a,b,c的關系式，進而得到結論。
（2）設出直線方程，直線與橢圓的方程聯立，得到關于未知數的一元二次方程，然后借助于韋達定理和判別式得到k的取值范圍。
（3）利用兩點式得到直線的斜率，借助于韋達定理求證其積為定值。
（1）設橢圓E的方程為，
由得所以所求橢圓E的標準方程為． …… 4分
（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，由于，則，
由消去并化簡整理，得， …… …… 6分
根據題意，，解得 ，同理可得，即，
∴有，解得．    …… 8分
（3）設，，，那么，
則 ，，即， 10分
同理可得，即，
∴ ，即直線與直線的斜率乘積為定值