Question

設函數f(x)=

1

2

x2ex在區間[-2，2]上滿足f（x）＜m恒成立，則實數m的取值范圍為

m＞2e²

．

Answer 1

分析：求出導函數，令導函數大于0求出x的范圍為遞增區間，導函數小于0得到f（x）的遞減區間，再令導函數等于0求出根，然后求出根對應的函數值及區間的端點對應的函數值，求出f（x）的值域，得到m的范圍．

解答：解：f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)…（2分）
令

ex

2

x(x+2)＜0得x＞0或x＜-2
∴f（x）的單增區間為（-∞，-2）和（0，+∞）；
單減區間為（-2，0）．…（6分）
令 f′(x)=xex+

1

2

x2ex=

ex

2

x(x+2)=0
∴x=0和x=-2，…（8分）
∴f(-2)=

2

ex

，f(2)=2e2，f(0)=0
∴結合函數的單調性得到：f（x）∈[0，2e²]…（11分）
∴m＞2e²
則實數m的取值范圍為m＞2e²…（12分）
故答案為：m＞2e²

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，化歸與轉化思想，解決不等式恒成立的問題，一般分離參數轉化為求函數的最值．