Question

在數學中，等與不等是相對的，例如“當a≤b且a≥b時，我們就可以得到a=b”．設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），且滿足f（-1）=0，對于任意實數x都有f（x）-x≥0，且當x∈（0，2）時，f（x）≤(

x+1

2

)2．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求證：a＞0，c＞0；
（Ⅲ）當x∈[-1，1]時，函數g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調的，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,基本不等式

專題：函數的性質及應用

分析：（I）由于對于任意實數x都有f（x）-x≥0，且當x∈（0，2）時，f（x）≤(

x+1

2

)2．可得f（1）≥1，f（1）≤(

1+1

2

)2=1．
（II）由

f(-1)=0 f(1)=1

可得b=a+c=

1

2

．對于任意實數x都有f（x）-x≥0，可得ax2-

1

2

x+c≥0，

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

，即可得出；
（III）由于

1

2

=a+c≥2

ac

≥2

1 16

=

1

2

，可得a=c=

1

4

．可得g（x）=f（x）-mx=

1

4

x2+(

1

2

-m)x+

1

4

，由于當x∈[-1，1]時，函數g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調的，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答： （I）解：∵對于任意實數x都有f（x）-x≥0，且當x∈（0，2）時，f（x）≤(

x+1

2

)2．
∴f（1）≥1，f（1）≤(

1+1

2

)2=1．
∴f（1）=1．
（II）證明：由

f(-1)=0 f(1)=1

可得

a-b+c=0 a+b+c=1

，∴b=a+c=

1

2

．
對于任意實數x都有f（x）-x≥0，即ax²+（b-1）x+c≥0，
∴ax2-

1

2

x+c≥0，∴

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

，
∴a＞0，ac≥

1

16

，∴a＞0，c＞0．
（III）∵

1

2

=a+c≥2

ac

≥2

1 16

=

1

2

，∴a=c=

1

4

．
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f（x）-mx=

1

4

x2+(

1

2

-m)x+

1

4

，
∴g（x）=

1

4

[x2+(2-4m)x+1]．
又∵當x∈[-1，1]時，函數g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調的，
∴|

2-4m

2

|≥1，解得m≥1或m≤0．

點評：本題考查了二次函數的單調性、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．