Question

【題目】已知點和動點，以線段為直徑的圓內切于圓.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）已知點， ，經過點的直線與動點的軌跡交于， 兩點，求證：直線與直線的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）設以線段為直徑的圓的圓心為，取，借助幾何知識分析可得動點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，根據待定系數法可得動點的軌跡方程為．（2）①當直線垂直于軸時，不合題意；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，與橢圓方程聯立消元后可得二次方程，根據二次方程根與系數的關系及斜率公式可得，為定值．

試題解析：

（1）如圖，設以線段為直徑的圓的圓心為，取.

依題意，圓內切于圓，設切點為，則， ， 三點共線，

為的中點， 為中點，

.

，

∴動點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，

設其方程為，

則， ，

， ，

，

動點的軌跡方程為.

（2）①當直線垂直于軸時，直線的方程為，此時直線與橢圓相切，與題意不符.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由消去y整理得.

∵直線與橢圓交于， 兩點，

∴，

解得．

設， ，

則，

（定值）．