Question

【題目】如圖，已知橢圓，橢圓的長軸長為8，離心率為．

求橢圓方程；

橢圓內接四邊形ABCD的對角線交于原點，且，求四邊形ABCD周長的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）四邊形ABCD的周長的最小值為，最大值為20．.

【解析】

（1）由題意可得a＝4，運用離心率公式可得c，再由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；

（2）由題意的對稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形，運用向量的數量積的性質，可得22，即有四邊形ABCD為菱形，即有AC⊥BD，討論直線AC的斜率為0，可得最大值；不為0，設出直線AC的方程為y＝kx，（k＞0），則BD的方程為yx，代入橢圓方程，求得A，D的坐標，運用兩點的距離公式，化簡整理，由二次函數的最值求法，可得最小值．

由題意可得，即，

由，可得，，

即有橢圓的方程為；

由題意的對稱性可得四邊形ABCD為平行四邊形，

由，可得，

即，

可得，即有四邊形ABCD為菱形，

即有，

設直線AC的方程為，，則BD的方程為，

代入橢圓方程可得，

可設，

同理可得，

即有

，

令，

即有，

由，

即有，即時，取得最小值，且為；

又當AC的斜率為0時，BD為短軸，即有ABCD的周長取得最大值，且為20．

綜上可得四邊形ABCD的周長的最小值為，最大值為20．