Question

已知橢圓的焦點是F₁(-4，0)、F₂(4，0)，過F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為O，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上的不同兩點A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)滿足條件|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列．

(1)求橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標；

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由橢圓定義及已知條件知

2a=|F₁B|+|F₂B|=10．∴a=5，

又c=4，∴b²=a²-c²=9

故橢圓方程為=1

(2)由點B在橢圓上，可知|F₂B|=|y_B|=，而橢圓的右準線方程為x=，離心率為，由橢圓定義有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂)．

依題意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|

則5-x₁+5-x₂=2×  ∴x₁+x₂=8，(8分)

設弦AC的中點為P(x₀，y₀)，則x₀==4，

即弦AC的中點的橫坐標為4

(3)由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，在橢圓上得9=9×25，

9=9×25，兩式相減整理得

9=0

(x₁≠x₂)將=x₀=4,=y₀，

(k≠0)代入得9×4+25y₀()=0即k=

由于P(4，y₀)在弦AC的垂直平分線上，

∴y₀=4k+m，于是m=y₀-4k=y₀-.

而，

∴＜m＜．