Question

(本小題滿分12分）

已知直線l1:4x:-3y+6=0和直線l2x=-p/2:.若拋物線C:y2=2px上的點(diǎn)到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.

(I )求拋物線C的方程；

(II)若以拋物線上任意一點(diǎn)M為切點(diǎn)的直線l與直線l2交于點(diǎn)N，試問(wèn)在x軸上是否存 在定點(diǎn)Q，使Q點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 即在x軸上存在定點(diǎn)Q（1,0）在以MN為直徑的圓上

【解析】

試題分析：解: （Ⅰ）由定義知為拋物線的準(zhǔn)線，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)

由拋物線定義知拋物線上點(diǎn)到直線的距離等于其到焦點(diǎn)F的距離.

所以拋物線上的點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線的距離.…………2分

所以，則=2,所以，拋物線方程為.………………4分

（Ⅱ）設(shè)M，由題意知直線斜率存在，設(shè)為k,且,所以直線方程為,

代入消x得：

由………………6分

所以直線方程為，令x=-1,又由得

設(shè)則

由題意知……………8分

，把代入左式,

得：，……………10分

因?yàn)閷?duì)任意的等式恒成立，

所以

所以即在x軸上存在定點(diǎn)Q（1,0）在以MN為直徑的圓上.……………12分

考點(diǎn)：本試題考查了拋物線的知識(shí)點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，一般采用設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想來(lái)求解，結(jié)合韋達(dá)定理，和向量的數(shù)量積公式，來(lái)得到坐標(biāo)之間的關(guān)系式，然后求解證明結(jié)論。對(duì)于點(diǎn)是否在圓上的問(wèn)題，可以通過(guò)向量的數(shù)量積垂直來(lái)說(shuō)明即可，中檔題。