Question

【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數y和平均溫度x有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.（表中）

平均溫度		21		23	25	27	29	32	35
平均產卵數/個		7		11	21	24	66	115	325
27.429	81.286		3.612	40.182				147.714

（1）根據散點圖判斷，與（其中自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均產卵數y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求出y關x的回歸方程.（計算結果精確到小數點后第三位）

（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為.

①記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應的概率p.

②當取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數為X，求X的數學期望和方差.

附：線性回歸方程系數公式.

Answer 1

【答案】（1）更適宜，；（2）①，；②，

【解析】

（1）根據散點圖選擇合適函數模擬，利用變量，構造線性回歸方程，利用已知量求解出關于的線性回歸方程，即可求解出y關于x的回歸方程；

（2）①先表示出，然后根據分析出的最大值以及的值；

②根據的值以及二項分布的均值與方差的計算方法求解出結果即可.

解：（1）根據散點圖可以判斷，更適宜作為平均產卵數

y關于平均溫度x的回歸方程類型；

對兩邊取自然對數，得；

令，得；

因為，

；

所以z關于x的回歸方程為；

所以y關于x的回歸方程為；

（2）（i）由，

得，

因為，令，得，解得；

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以有唯一的極大值為，也是最大值；

所以當時，；

（ii）由（i）知，當取最大值時，，所以，

所以X的數學期望為，

方差為.