Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知R（x0 ， y0）是橢圓 + =1上的一點，從原點O向圓R（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=12作兩條切線，分別交橢圓于P，Q兩點．
（1）若R點在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，分別記為k1 ， k2 ， 求k1k2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓R的半徑r=2 ，

∵OP⊥OQ，∴|OR|= r=2 ，∴x02+y02=24，

又點R在橢圓C上，∴ ，

聯立 ，解得 ．

∴圓R的方程為 （x﹣2 ）2+（y﹣2 ）2=12

（2）解：直線OP方程為：k1x﹣y=0，直線OQ的方程為：k2x﹣y=0．

∵OP，OQ為圓R的切線，

∴ =2 ， ．

∴k1，k2為方程 的兩根，

∴ ，

∵點R在橢圓C上，∴ ，即 ，

∴ ．

【解析】（1）利用切線的性質可求出|OR|=2 ，又R在橢圓上．列方程組解出R點坐標；（2）根據R到OP，OQ的距離為2 得出k1 ， k2為某個一元二次方程的解，根據距離公式得出這個一元二次方程，結合R為橢圓上的點得出k1k2的值．