Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）已知x∈[0，1]
（i）若a=b=1，求函數f（x）的值域；
（ii）若函數f（x）的值域為[0，1]，求a，b的值；
（Ⅱ）當|x|≥2時，恒有f（x）≥0，且f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，求a2+b2的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i），由已知，得f（x）=x2+x+1=（x+ ）2+ ，

又x∈[0，1]，

∴f（x）∈[1，3]，

∴函數f（x）的值域的值域為[1，3]，

（ii）函數y=f（x）的對稱軸方程為x=﹣

①當﹣ ≤0時，即a≥0時，函數f（x）在[0，1]上單調性遞增，可得 ，解得a=b=0，

②當﹣ ≥1時，即a≤﹣2時，函數f（x）在[0，1]上單調性遞減，可得 ，解得a=﹣2，b=1，

③0＜﹣ ＜ 時，即﹣1＜a＜0時，

，解得a=﹣4，b=4，或a=b=0（舍去），

④當 ≤﹣ ＜1，即﹣2＜a≤﹣1時， ，解得a=±2，b=1，舍去，

綜上所述a=b=0，或a=﹣2，b=1

（Ⅱ）由題意函數圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，

故有f（2）≤f（3）=1，從而a≥﹣5且b=﹣3a﹣8．

①若f（x）=0有實根，則△=a2﹣4b≥0，

在區間[﹣2，2]有 即 ，將b=3a﹣8代入，整理得 即a=﹣4，這時b=4，且△=0．

②若f（x）=0無實根，則△=a2﹣4b＜0，將b=﹣3a﹣8代入解得﹣8＜a＜﹣4．

綜上﹣5≤a≤﹣4．

所以a2+b2=a2+（﹣3a﹣8）2=10a2+48a+64，在[﹣5，﹣4]單調遞減，

故（a2+b2）min=32，（a2+b2）max=74．

【解析】（Ⅰ）（i）根據二次函數的性質即可求出函數的值域，（ii）根據二次函數的性質，分類討論即可求出，（Ⅱ）因為若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，f（x）在區間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而a≥﹣5且b=﹣3a﹣8．在分類討論基礎上，將以上關系變為不等式組，消去c可得b的取值范圍，最后將a2+b2轉化為a的函數，求其值域可得a2+b2的最大值和最小值．
【考點精析】掌握二次函數在閉區間上的最值和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道當時，當時，；當時在上遞減，當時，；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．