Question

已知關(guān)于t的方程t²-zt+4+3i=0（z∈C）有實(shí)數(shù)解，
（1）設(shè)z=5+ai（a∈R），求a的值．
（2）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），求|z|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）設(shè)實(shí)數(shù)解為t，由t²-（5+ai）t+4+3i=0得 （t²-5t+4 ）+（-at+3）i=0．利用復(fù)數(shù)相等即可得出；
（2）由t²-zt+4+3i=0（z∈C），可得z=

t2+4+3i

t

=t+

4

t

+

3

t

i，利用模的計(jì)算公式和基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)實(shí)數(shù)解為t，由t²-（5+ai）t+4+3i=0得  （t²-5t+4 ）+（-at+3）i=0．
故

t2-5t+4=0 -at+3=0

解得，

t=1 a=3

，或

t=4 a= 3 4

．
∴a=3，或a=

3

4

．
（2）∵t²-zt+4+3i=0（z∈C），∴z=

t2+4+3i

t

=t+

4

t

+

3

t

i
，∴|z|=

(t+ 4 t )2+( 3 t )2

=

t2+ 25 t2 +8

≥

2 t2• 25 t2 +8

=3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t²=5時(shí)取等號(hào)．
∴|z|∈[3

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式、基本不等式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．