Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，圓O：與坐標軸分別交于A1，A2，B1，B2(如圖)．

（1）點Q是圓O上除A1，A2外的任意點(如圖1)，直線A1Q，A2Q與直線交于不同的兩點M，N，求線段MN長的最小值；

（2）點P是圓O上除A1，A2，B1，B2外的任意點(如圖2)，直線B2P交x軸于點F，直線A1B2交A2P于點E．設A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2m﹣k為定值．

（圖1） （圖2）

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析。

【解析】

（1）設A2Q的斜率為k，求出直線A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐標，從而得出MN關于k的表達式，進而得出MN的最小值；

（2）求出直線方程，得出E、F的坐標，進而得出m與k的關系，從而得出結論．

(1)由題設可以得到直線的斜率存在設方程為,

直線的方程為,

由,解得;由,解得

所以,直線與直線的交點

直線與直線的交點,所以.

當時, ,等號成立的條件是

當時, ,等號成立的條件是.

故線段長的最小值是2.

(2)法1:由題意可知,

的斜率為,∴直線的方程為,由得

則直線的方程為,令,則,即

∵直線的方程為,由解得

∴，

∴的斜率,

∴ (定值).

法2:設, ,

,

所以直線方程:

:直線方程,

則,得

而,得

,

則 （定值）。