Question

【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若，證明：；

（3）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數求函數的最小值，令最小值大于等于0，從而求得的值；

（2）由（1）可得，令，利用導數求證函數的最小值大于等于0即可；

（3）由（2）可得，當時，，要證，只需證明，若，即，再利用換元法，結合導數進行證明即可.

（1）由題可得.

當時，若，則，不滿足條件.

當時，令，得.

∵當時，，當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增，

的最小值為

令，由題意可知.

令，得.

易知在上單調遞增，在上單調遞減，

.

再結合式得.

（2）由（1）可得.

令，則.

令，則在上單調遞增，

在上單調遞增，

，

.

（3）由（2）可得，當時，.

要證，只需證明.

若，即，則題中不等式成立，下面證明.

令，

求導得，

在上單調遞增，

，

，即，