Question

【題目】已知拋物線與圓相交于，兩點，且點的橫坐標為.是拋物線的焦點，過焦點的直線與拋物線相交于不同的兩點，.

（1）求拋物線的方程.

（2）過點，作拋物線的切線，，是，的交點，求證：點在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據點的橫坐標為，通過圓的方程得到點的坐標，代入拋物線方程求解.

（2）由（1）得到拋物線，求導，設，利用導數的幾何意義，得到切線，的方程，聯立解得點P的坐標，再設出直線的方程與拋物線方程聯立，結合韋達定理求解.

（1）點的橫坐標為，所以點的坐標為，

代入解得，所以拋物線的方程為.

（2）拋物線，則，設，

所以切線的方程為，即，

同理切線的方程為，

聯立解得點，

設直線的方程為，代入，

得，所以，

所以點在上，結論得證.