Question

（2009•上海模擬）如圖，A是棱長為a的正方體的一個頂點，過從此頂點出發的三條棱的中點作截面，對正方體的所有頂點都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關于此多面體有以下結論：①有12個頂點；②有24條棱；③有12個面；④表面積為3a²；⑤體積為

5

6

a³．其中正確的結論是

①②⑤

．（要求填上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，如圖，原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形，再添了八個頂點各對應的一個三角形的面，計算或數一數它的面數等，再結合割補法求出它的表面積及體積即可．

解答：解：如圖，
原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形，再添了八個頂點各對應的一個三角形的面，所以總計6+8=14個面，故③錯；
每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對應兩個面，所以實際只有

1

2

×48=24條棱．②正確；
所有的頂點都出現在原來正方體的棱的中點位置，
原來的棱的數目是12，所以現在的頂點的數目是12．
或者從圖片上可以看出每個頂點對應4條棱，每條棱很明顯對應兩個頂點，所以頂點數是棱數的一半即12個．①正確；
三角形和四邊形的邊長都是

2

2

a，所以正方形總面積為6×

1

2

a²=3a²，三角形總面積為8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面積（3+

3

）a²，故④錯；
體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積，每個三棱錐體積為8×

1

6

（

a

2

）³=

1

6

a²，剩余總體積為a³-

1

6

a³=

5

6

a³．⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評：本小題主要考查棱柱的結構特征、多面體的表面積與體積等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．