Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1內有一點A（1，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上一點．
（1）求|PA|+|PF₁|的最大值、最小值及對應的點P坐標；
（2）求|PA|+

3

2

|PF2|的最小值及對應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義表示出|PA|+|PF₁|，通過基本不等式求出的最小值，利用三點共線求出最大值，求出對應的點P坐標；
（2）利用他的第二定義表示|PA|+

3

2

|PF2|，利用幾何意義求出表達式的最小值及對應的點P的坐標．

解答：解：（1）如圖1，2a=6，F₂（2，0），|AF₂|=

2

，設P是橢圓上任一點，由|PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PA|≥|PF₂|-|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≥|PF₁|+|PF₂|-|AF₂|=2a-|AF2|=6-

2

，
等號僅當|PA|=|PF₂|-|AF₂|時成立，此時P、A、F₂共線．
由|PA|≤|PF₂|+|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≤|PF₁|+|PF₂|+|AF₂|=2a+|AF2|=6+

2

，
等號僅當|PA|=|PF₂|+|AF₂|時成立，此時P、A、F₂共線．
建立A、F₂的直線方程x+y-2=0，
解方程組

x+y-2=0 5x2+9y2=45

得兩交點P1(

9

7

-

15

14

2

 ， 

5

7

+

15

14

2

)、P2(

9

7

+

15

14

2

 ， 

5

7

-

15

14

2

)．
綜上所述，P點與P₁重合時，|PA|+|PF₁|取最小值6-

2

，P點與P₂重合時，|PA|+|PF₂|取最大值6+

2

．
（2）如圖2，設P是橢圓上任一點，作PQ垂直橢圓右準線，Q為垂足，由a=3，c=2，
∴e=

2

3

．由橢圓第二定義知

|PF2|

|PQ|

=e=

2

3

，∴|PQ|=

3

2

|PF2|，
∴|PA|+

3

2

|PF2|=|PA|+|PQ|，
要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準線距離．右準線方程為x=

9

2

．
∴A到右準線距離為

7

2

．此時P點縱坐標與A點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點P坐標(

6 5

5

 ， 1)．

點評：本題考查橢圓的定義以及第二定義的應用，表達式的幾何意義的應用，考查轉化思想與計算能力．