Question

在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設動點P滿足PF²-PB²=4，求點P的軌跡；
（2）設x1=2，x2=

1

3

，求點T的坐標；
（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y），由兩點距離公式將PF²-PB²=4，變成坐標表示式，整理即得點P的軌跡方程．
（2）將x1=2，x2=

1

3

分別代入橢圓方程，解出點M與點N的坐標由兩點式寫出直線AM與直線BN的方程聯立解出交點T的坐標．（3）方法一求出直線方程的參數表達式，然后求出其與x的交點的坐標，得到其橫坐標為一個常數，從而說明直線過x軸上的定點．
方法二根據特殊情況即直線與x軸垂直時的情況求出定點，然后證明不垂直于x軸時兩線DM與DN斜率相等，說明直線MN過該定點．

解答：解：（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）．
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²-[（x-3）²+y²]=4，化簡得x=

9

2

．
故所求點P的軌跡為直線x=

9

2

．
（2）將x1=2，x2=

1

3

分別代入橢圓方程，以及y₁＞0，y₂＜0，
得M（2，

5

3

）、N（

1

3

，-

20

9

）
直線MTA方程為：

y-0

5 3 -0

=

x+3

2+3

，即y=

1

3

x+1，
直線NTB方程為：

y-0

- 20 9 -0

=

x-3

1 3 -3

，即y=

5

6

x-

5

2

．
聯立方程組，解得：

x=7 y= 10 3

，
所以點T的坐標為(7，

10

3

)．

（3）點T的坐標為（9，m）
直線MTA方程為：

y-0

m-0

=

x+3

9+3

，即y=

m

12

(x+3)，
直線NTB方程為：

y-0

m-0

=

x-3

9-3

，即y=

m

6

(x-3)．
分別與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1聯立方程組，同時考慮到x₁≠-3，x₂≠3，
解得：M(

3(80-m2)

80+m2

，

40m

80+m2

)、N(

3(m2-20)

20+m2

，-

20m

20+m2

)．
（方法一）當x₁≠x₂時，
直線MN方程為：

y+ 20m 20+m2

40m 80+m2 + 20m 20+m2

=

x- 3(m2-20) 20+m2

3(80-m2) 80+m2 - 3(m2-20) 20+m2

令y=0，解得：x=1．此時必過點D（1，0）；
當x₁=x₂時，直線MN方程為：x=1，與x軸交點為D（1，0）．
所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）．
（方法二）若x₁=x₂，則由

240-3m2

80+m2

=

3m2-60

20+m2

及m＞0，得m=2

10

，
此時直線MN的方程為x=1，過點D（1，0）．
若x₁≠x₂，則m≠2

10

，直線MD的斜率kMD=

40m 80+m2

240-3m2 80+m2 -1

=

10m

40-m2

，
直線ND的斜率kND=

-20m 20+m2

3m2-60 20+m2 -1

=

10m

40-m2

，得k_MD=k_ND，所以直線MN過D點．
因此，直線MN必過x軸上的點（1，0）．

點評：本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識．考查運算求解能力和探究問題的能力