Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，，且．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）棱上是否存在一點，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，

試題分析：（Ⅰ）先證平面可得。同理可證，最后根據線面垂直的判定定理可得平面。（Ⅱ）可建系用空間向量法，先求邊長得點的坐標即可得向量的坐標。先求面和面的法向量，再求兩個法向量所成角的余弦值。兩法向量所成的角與二面角相等或互補。需觀察圖像的二面角的余弦值。（Ⅲ）假設棱上存在點滿足條件。設。在（Ⅱ）以求出面的法向量，根據線面角的定義可知直線與平面所成的角正弦值等于與面的法向量所成角的余弦值的絕對值。列式求，若則說明假設成立，否則假設不成立。
試題解析：（Ⅰ）證明：在正方形中，.
因為，，
所以 平面．                                      1分
因為 平面，
所以 ．                                            2分
同理，．
因為 ，
所以 平面．                                    3分
（Ⅱ）解：連接，由（Ⅰ）知平面．

因為平面，
所以．                                            4分
因為，，
所以．
分別以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.
由題意可得：，，，．
所以，，，．
設平面的一個法向量，
則 即 令，得.
所以．
同理可求：平面的一個法向量．                6分
所以．
所以二面角的余弦值為．                      8分
（Ⅲ）存在．理由如下：
若棱上存在點滿足條件，設，．
所以．       9分
因為平面的一個法向量為．
所以．
令解得：.
經檢驗．
所以棱上存在點，使直線與平面所成的角是，此時的長為．                  11分