Question

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，O₁、O分別為上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O。

（Ⅰ）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠A₁AB＝60°，求平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）平面與平面的夾角的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）求證平面平面，證明面面垂直，先證線面垂直，即證一個平面過另一個平面的垂線，注意到在底面上的射影是，即平面，由圖像可知只需證明即可，因此可連，則為的交點，易知四邊形為平行四邊形，從而得，這樣就得平面，由面面垂直的判定定理可得結論；（Ⅱ）平面與平面的夾角的余弦值，可用傳統方法，找二面角的平面角，過點作，垂足為，連接，由三垂線定理得，∴為二面角的平面角，在中求出此角即可；也可用空間向量法，如圖分別以為軸建立空間直角坐標系，分別找出兩個半平面的法向量，利用法向量來求平面與平面的夾角的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）連結AC,BD, A₁C₁,則O為AC,BD的交點O₁為A₁C₁,B₁D₁的交點。
由平行六面體的性質知：A₁O₁∥OC且A₁O₁=OC,四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，      (2分)
A₁O∥O₁C. 又∵A₁O⊥平面ABCD，O₁C⊥平面ABCD,             (4分)
又∵O₁C平面O₁DC, 平面O₁DC⊥平面ABCD。       (6分)

（Ⅱ）由題意可知RtA₁OB≌RtA₁OA,則A₁A=A₁B，
又∠A₁AB=60⁰，故A₁AB是等邊三角形。                  (7分)
不妨設AB="a," 則在RtA₁OA中，OA=a, AA₁="a," OA₁=a,
如圖分別以OB,OC,OA₁為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系，
則可得坐標為A(0,-a,0), B(a,0,0), A₁(0,0,,a)         (8分)
=(a,a,0)，  =(-a,0,a)
設平面ABA₁的法向量為=(x,y,z)
則由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0
令x=1得=(1,-1,1)                                      (10分)
又知BD⊥平面ACC₁A₁，故可得平面CAA₁的一個法向量為=(1,0,0)
cosθ=||=
從而平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值為。         (12分)