Question

【題目】如圖，正方體的棱長為，其中為底面的中心，，分別為，的中點，平面與底面交于直線.

（1）求證：.

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)先利用面面平行的判定定理證明面面,再根據面面平行的性質定理可證;

(2)根據以及體積公式可求得點到平面的距離.

（1）解：如圖所示，

連接、，

∵為正方形的中心，∴為中點，

又∵為的中點，∴為△的中位線，∴.

又∵面，面，∴面，

因為，且，∴為平行四邊形，

∴，且，

又∵，且，∴，且，

∴為平行四邊形，所以.

又∵面，面，∴面，

又∵面，且，∴面面，

又∵面面，面面，

∴.

（2）設點到面的距離為，連接、，

如圖所示:

∵正方體的棱長為，且為中點，

∴，

同理可求，，

∴，

∴，

∵，且，∴，

又∵面，且，∴，

又∵，∴，

∴點到面的距離為.