Question

關于函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②f（x）的表達式可改寫為f(x)=4cos(2x-

π

6

)；
③f（x）的圖象關于點(-

π

6

，0)對稱；
④f（x）的圖象關于直線x=

π

3

對稱；
⑤f（x）在區間(-

π

3

，

π

12

)上是增函數；其中正確的是

 

．（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：通過舉反例，當x₁=-

π

6

，x₂=

π

3

時，f（x₁）=f（x₂）=0，說明①不正確．
由誘導公式可得②是正確的．
由x=-

π

6

 時，f（x）=0，故點(-

π

6

，0)是f（x）與x軸的交點，故③正確．
由 當 x=

π

3

時，f(x)=4sin(2x+

π

3

)=0，不是最值可得④是錯誤的．
 由   2kπ-

π

2

≤(2x+

π

3

)≤2kπ+

π

2

 得，解得x的范圍即是增區間，可得⑤正確．

解答：解：∵f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)的周期為π，
當x₁=-

π

6

，x₂=

π

3

時，f（x₁）=f（x₂）=0，x₁-x₂ =

π

2

≠kπ，k∈z，故①是錯誤的．
∵由誘導公式可得f(x)=4sin(2x+

π

3

)=4cos（

π

2

-2x-

π

3

 ）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），故 ②正確．
∵當 x=-

π

6

 時，f（x）=0，故點(-

π

6

，0)是f（x）與x軸的交點，故是對稱點，故③正確．
∵當 x=

π

3

時，f(x)=4sin(2x+

π

3

)=0，不是f（x）的最值，故④是錯誤的．
由   2kπ-

π

2

≤(2x+

π

3

)≤2kπ+

π

2

 得，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故⑤正確．
綜上，②③⑤正確，①④不正確，
答案為 ②③⑤．

點評：本題考查正弦函數的對稱性、單調性、周期性，誘導公式的應用，熟記正弦函數的性質是解題的關鍵．