Question

關于函數f(x)=4sin(2x+

π

3

)，x∈R有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可知，x₁-x₂必是π的整數倍；
②y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos(2x-

π

6

)；
③y=f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]單調遞減；
④若方程f（x）-m=0在x∈[0，

π

2

]恰有一解，則m∈[-2

3

，2

3

)；
⑤函數y=|f（x）+1|的最小正周期是π，
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

分析：①f（x₁）=f（x₂）=0⇒x₁-x₂=

k

2

π（k∈Z），從而可判斷其正誤；
②利用誘導公式可判斷②的正誤；
③利用正弦函數的單調性可判斷③之正誤；
④利用正弦函數的性質（單調性與最值）可判斷④的正誤；
⑤利用兩角和的正弦展開，合并之后，利用三角函數的性質判斷即可．

解答：解：①，由f（x₁）=f（x₂）=0可知，2x₁+

π

3

=k₁π，2x₂+

π

3

=k₂π，
∴2（x₁-x₂）=（k₁-k₂）π=kπ（k₁、k₂、k均為整數），
∴x₁-x₂=

k

2

π（k∈Z），故x₁-x₂必是π的整數倍是錯誤的，即①錯誤；
②，∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos[（2x+

π

3

）-

π

2

]=4cos（2x-

π

6

），故y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

），即②正確；
③，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）=4sin（2x+

π

3

）的單調遞減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z），
當k=-1時，f（x）=4sin（2x+

π

3

）的單調遞減區間為[-

11π

12

，-

5π

12

]，[-

3π

4

，-

π

2

]⊆[-

11π

12

，-

5π

12

]，
∴y=f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]上單調遞減，故③正確；
④，當x∈[0，

π

2

]時，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-2

3

≤4sin（2x+

π

3

）≤4，
又方程f（x）-m=0在x∈[0，

π

2

]時只有一解，
∴-2

3

≤m＜2

3

或m=4，故④錯誤；
⑤，∵y=|sin（2x+

π

3

）|的最小正周期為

π

2

，
∴y=|f（x）+1|=|4sin（2x+

π

3

）+1|的最小正周期為

π

2

，故⑤錯誤；
綜上所述，正確的命題序號是②③．
故答案為：②③．

點評：本題考查正弦函數的性質，著重考查其單調性、對稱性、周期性、最值的綜合應用，考查推理分析與綜合運算能力，屬于難題．