Question

【題目】已知拋物線：（）的焦點為，拋物線上存在一點到焦點的距離為3，且點在圓：上.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知橢圓：（）的一個焦點與拋物線的焦點重合，且離心率為.直線：交橢圓于，兩個不同的點，若原點在以線段為直徑的圓的外部，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ( Ⅱ) 實數的取值范圍是

【解析】分析：（1）設點的坐標為，列出關于的方程組，即可求解拋物線方程；

（2）利用已知條件推出m、n的關系，設，，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式大于0，求出k的范圍，通過原點O在以線段AB為直徑

的圓的外部，推出，然后求解k的范圍即可.

詳解：（Ⅰ）設點的坐標為.

由題可知，解得，，，拋物線的方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，拋物線的焦點，

橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的半焦距，

即，又橢圓的離心率為，，即，，

橢圓的方程為，

設，，由得，

由韋達定理，得，，

由，得，解得或，①

原點在以線段的圓的外部，則，

，

即，②

由①，②得，實數的范圍是或，

即實數的取值范圍是 .