Question

如圖，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)，G分別是EB和AB的中點．
（1）求三棱錐D-ABC的體積V；
（2）求證：CG⊥平面ABE；
（3）求證：FD∥平面ABC．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）DC為三棱錐D-ABC的高，代人公式計算即可；
（2）線面垂直的判定；AE⊥面ABC，CG?面ABC，可得CG⊥AE，AE∩AB=A，可證得CG⊥平面ABE；
（3）FG∥CD，F(xiàn)D?面ABC，CG?面ABC，利用線面平行的判定定理可證得FD∥平面ABC．

解答： 解：（1）∵△ABC是邊長為2a的正三角形，
∴S△ABC=

3

4

×4a2=

3

a2，又DC垂直于平面ABC且DC=a，
∴V=

1

3

S△ABC×DC=

3

3

a3． …（4分）
（2）證明：△ABC是正三角形，G是AB的中點，
∴CG⊥AB，
又∵AE⊥面ABC，CG?面ABC，
∴CG⊥AE，AE∩AB=A，
∴CG⊥平面ABE；…8
（3）證明：F、G分別是EB和AB的中點，∴FG

∥

.

1

2

AE，
又EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，
∴CD

∥

.

1

2

AE，∴CD

∥

.

FG，
∴四邊形CDFG是平行四邊形，
∴FG∥CD，F(xiàn)D?面ABC，CG?面ABC，
∴FD∥平面ABC．

點評：本題考查了棱錐體積的計算，線面平行及垂直的判定，考查空間想象能力，計算能力．