Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為， ，且經過點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）的頂點都在橢圓上，其中關于原點對稱，試問能否為正三角形？并說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 不可能為正三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設橢圓的標準方程為，依題意得，利用橢圓的定義可得，則橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，設方程為，聯立直線方程與橢圓方程可得， ，則，同理可得.據此可得關于實數k的方程，方程無解，則不可能為正三角形.

試題解析：

(Ⅰ)設橢圓的標準方程為，

依題意得，

，

所以， ，

故橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，

設方程為，

則的方程為，聯立方程，

解得， ，

所以，

同理可得.

又，所以，

化簡得無實數解，

所以不可能為正三角形.