Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c的圖象過A（t₁，y₁）、B（t₂，y₂）兩點，且滿足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）證明y₁=-a或y₂=-a；
（2）證明函數f（x）的圖象必與x軸有兩個交點；
（3）若關于x的不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解關于x的不等式cx²-bx+a＞0．

Answer 1

解：（1）證明：∵a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
∴（a+y₁）（a+y₂）=0，得y₁=-a或y₂=-a．
（2）證明：當a＞0時，二次函數f（x）的圖象開口向上，圖象上的點A、B的縱坐標至少有一個為-a且小于零，
∴圖象與x軸有兩個交點．
當a＜0時，二次函數f（x）的圖象開口向下，圖象上的點A、B的縱坐標至少有一個為-a且大于零，
∴圖象與x軸有兩個交點．
故二次函數f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點．
（3）∵ax²+bx+c＞0的解集為{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根據一元二次不等式大于0取兩邊，從而可判定a＞0，
并且可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n，
∴
∴==-．
而cx²-bx+a＞0?x²-x+＞0?x²+（）x+＞0?（x+）（x+）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-＜-，∴x＞-或x＜-．
故不等式cx²-bx+a＞0的解集為{x|x＞-或x＜-}．
分析：（1）由題知a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0解得y₁或y₂即可；
（2）討論a＞0，函數為開口向上的拋物線，a＜0時函數圖象開口向下，由（2）得圖象上的點A、B的縱坐標大于小于0得到與x軸有兩個交點即可；
（3）根據已知不等式的解集得到a的符號且可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n，然后利用根與系數的關系化簡不等式求出解集即可．
點評：考查學生函數與方程的綜合運用能力，以及一元二次方程根與系數關系的靈活運用，不等式取解集方法的運用能力．