Question

【題目】已知橢圓的離心率，直線與圓相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，若直線與橢圓相交于兩點，試判斷是否存在實數，使得以為直徑的圓過定點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數使得以為直徑的圓過定點.

【解析】試題分析: （1）圓心到切線距離等于半徑得，即，再根據離心率，解得，（2）由以為直徑的圓過點，得，設坐標轉化條件得，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得，，代入條件并化簡得.

試題解析:（1）因為直線：與圓相切，

∴，

∴，

∵橢圓的離心率，

∴，

∴，

∴所求橢圓的方程是.

（2）直線代入橢圓方程，消去可得：

∴，∴或，

設，則有，，

若以為直徑的圓過點，則，

∵，，

∴

∴

∴，

解得，

所以存在實數使得以為直徑的圓過定點.