Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界，已知函數.

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以4為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）值域為，不是有界函數；（2）．

【解析】試題分析：（1）把代入函數的表達式，得出函數的單調區間，結合有界函數的定義進行判斷；（2）由題意知，對恒成立，令，對恒成立，設，，求出單調區間，得到函數的最值，從而求出的值.

試題解析：（1）當時，，令，∵，∴，；∵在上單調遞增，∴，即在上的值域為，故不存在常數，使成立．∴函數在上不是有界函數．

（2）由題意知，對恒成立，即：，令，∵，∴．∴對恒成立，∴，設，，由，由于在上遞增，在上遞減，在上的最大值為，在上的最小值為，∴實數的取值范圍為．