Question

【題目】若函數y=lg（3﹣4x+x2）的定義域為M．當x∈M時，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相應的x的值．

Answer 1

【答案】解：y=lg（3﹣4x+x2），
∴3﹣4x+x2＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2 ．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函數性質可知：
當0＜t＜2時，f（t）∈（﹣4， ]，
當t＞8時，f（t）∈（﹣∞，﹣160），
當2x=t= ，即x=log2 時，f（x）max= ．
綜上可知：當x=log2 時，f（x）取到最大值為 ，無最小值
【解析】根據題意可得M={x|x2﹣4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2x+2﹣3×4x=﹣3（2x）2+42x令t=2x ， 則t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=﹣3t2+4t利用二次函數在區間（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．