Question

【題目】將圓為參數)上的每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍，得到曲線

(1)求出的普通方程；

(2)設直線： 與的交點為， ，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問首先應用伸縮變換公式，根據公式可以得到變化后的參數方程為（為參數），即，于是可以根據畫為普通方程；（2）將曲線的普通方程與直線的方程聯立，可以解方程組，方程組的解分別為兩點坐標，于是可以求出直線的斜率及中點坐標，根據垂直關系可以求出線段的垂直平分線的方程，然后根據極坐標與直角坐標互化公式，即得到直線的極坐標方程.

試題解析：(1)設為圓上的任意一點，在已知的變換下變為上的點，

則有

(2) 解得：

所以則線段的中點坐標為，所求直線的斜率，于是所求直線方程為.

化為極坐標方程得： ，即