Question

設函數(shù) f（x）=x|x-1|+m，g（x）=1nx．
（1）當m＞1時，求函數(shù)y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）記函數(shù)p（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)p（x）有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x|x-1|+m=x²-x+m=（x-

1

2

）²+m-

1

4

，0≤x≤m，能求出當x=m時，f（x）取得最大值．
（2）由函數(shù)p（x）=f（x）-g（x）有零點，知f（x）-g（x）=0有正解，從而推導出存在正數(shù)x使 x|x-1|+m-lnx=0，m=lnx-x|x-1|成立，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x|x-1|+m，m＞1，0≤x≤m
∴f（x）=x|x-1|+m=x²-x+m=（x-

1

2

）²+m-

1

4

，
又∵0≤x≤m，
∴當x=m時，f（x）取得最大值m²．
（2）函數(shù)p（x）=f（x）-g（x）有零點，
即f（x）-g（x）=0有正解，
∵f（x）=x|x-1|+m，g（x）=1nx，
∴存在正數(shù)x使 x|x-1|+m-lnx=0，
m=lnx-x|x-1|成立，
令q（x）=lnx-x|x-1|，
當0＜x＜1時，q（x）=lnx+x²-1，
q′（x）=

1

x

+2x＞0總成立，故q（x）為增函數(shù)，
q（x）∈（-∞，0），
當x≥1時，q（x）=lnx+1-x²，
q′（x）=

1

x

-2x=

1-2x2

x

＜0總成立，
q（x）為減函數(shù)，q（x）∈（-∞，0]
綜上，x＞0時，q（x）∈（-∞，0]
所以，m≤0．
故m的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查利用函數(shù)的最大值的求法，考查利用導數(shù)求實數(shù)的取值范圍，解題時要認真審題，注意配方法、等價轉化思想的合理運用．