Question

已知函數f(x)=(m+

1

m

)lnx+

1

x

-x，
（Ⅰ）當m=2時，求f（x）的極大值；
（Ⅱ）當m＞0時，討論f（x）在區間（0，1）上的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m=2時，求出f′（x），f（x）的單調區間，根據極值定義可求得極值；
（Ⅱ）求出f′（x），然后解含參數的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意討論m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
當m=2時，f（x）=

5

2

lnx+

1

x

-x，
f′(x)=

5

2x

-

1

x2

-1=

-(2x-1)(x-2)

2x2

．
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當

1

2

＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x＞2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以當x=2時f（x）取得極大值f（2）=

5

2

ln2-

3

2

．
（Ⅱ）f′（x）=

m2+1

mx

-

1

x2

-1=

-(mx-1)(x-m)

mx2

=

-(x- 1 m )(x-m)

x2

．
①若0＜m＜1，則0＜m＜1＜

1

m

．當0＜x＜m時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當m＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
②若m=1，f′（x）=

-(x-1)2

x2

＜0，f（x）在（0，1）上單調遞減；
③若m＞1，則0＜

1

m

＜1＜m，當0＜x＜

1

m

時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當

1

m

＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
綜上，當0＜m＜1時，f（x）在（0，m）上是減函數，在（m，1）上是增函數；
當m=1時，f（x）在（0，1）上是減函數；
當m＞1時，f（x）在（0，

1

m

）上是減函數，在（

1

m

，1）上是增函數．

點評：本題考查利用導數研究函數單調性、極值以及含參數的不等式的求解，本題滲透了分類討論思想．