Question

某港口水的深度y（單位：m）是時間t（單位：h）的函數，記作y=f（t），如表是某日的水深數據：

t/h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/m	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經長期觀察，y=f（t）的曲線可以近似地看成函數y=Asinωt+b的圖象．
（1）試根據以上數據，求出y=f（t）的近似表達式；
（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上被記為是安全的（船舶停靠時只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內安全進出港口，則它至多能在港內停留多少時間？（忽略進出港所需時間）

Answer 1

分析：（1）由表格得到三角函數的周期，利用周期公式求出ω；利用A等于最大值減去最小值和的一半；b等于最大值加上最小值的差的一半，求出f（t）．
（2）將實際問題轉化為 不等式，列出不等式，結合三角函數的圖象求出不等式的解集．

解答：解：（1）由題知：T=12，ω=

π

6

，b=10，A=3，∴y=3sin

π

6

t+10
（2）由題知：y=3sin

π

6

t+10≥5+6.5，∴sin

π

6

t≥

1

2

1+2k≤t≤5+2k，k∈Z 0≤t≤24

∴1≤t≤5或13≤t≤17
∴停留最長時間為17-1=16小時．

點評：本題考查據三角函數的性質求三角函數的解析式、結合三角函數的圖象求三角不等式．