Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，B1，B2是橢圓的短軸端點，P是橢圓上異于點B1，B2的一動點．當直線PB1的方程為時，線段PB1的長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點Q滿足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求證：△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析： 由中，令，得，求出b＝3，然后，算出 QB1的斜率為，表示直線QB1的方程和QB2的方程，求出兩點坐標關系，代入，求出結果

解析：設， ．

（1）在中，令，得，從而b＝3．

由 得，所以．

因為， 所以，解得．

所以橢圓的標準方程為．

（2）直線PB1的斜率為，由所以直線QB1的斜率為． 于是直線QB1的方程為： ．

同理，QB2的方程為： ．

聯立兩直線方程，消去y，得．

因為在橢圓上，所以，從而．

所以，所以．