Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a₄a₅=55,a₃+a₆=16
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}和數列{b_n}滿足等式：
a_n-1=，a_n=（為正整數），
設數列{b_n}的前項和，c_n=(a_n+19)(S_n+50),數列{c_n}前n項和為T_n，
求T_n的最小值

Answer 1

(1)a_n="6n-19" (2)144

(1)a₃+a₆=16a₄+a₅=16
又a₄a₅=55，所以a₄=5，a₅=11，所以d=6
所以等差數列{a_n}的通項公式a_n=6n-19
(2)當n=1時,S₁=b₁=2a₁=-26
當n≥2時,
∵a_n-a_n-1=,∴b_n=6·2ⁿ
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=-26+b₂+b₃+…+b_n=-50+6·2ⁿ⁺¹
檢驗知：S_n=-50+6·2ⁿ⁺¹對為任意正整數時皆成立．
∵c_n=(a_n+19)(S_n+50)=72n·2ⁿ
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n……①
∴2T_n=2c₁+2c₂+2c₃+…+2c_n……②
①-②得
-T_n=c₁+72·2²+72·2³+72·2⁴+…+72·2ⁿ-72n·2ⁿ⁺¹
=72·2+72·2²+72·2³+72·2⁴+…+72·2ⁿ-72n·2ⁿ⁺¹
=72(2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ)-72n·2ⁿ⁺¹
=144(2ⁿ-1)-72n·2ⁿ⁺¹
∴T_n=144(n-1)2ⁿ+144
∵T_n為遞增數列，
∴n=1時, T_n=T₁=144最小
∴T_n的最小值為144