Question

已知橢圓C長軸的兩個頂點為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點B的任意一點，直線AN與橢圓C交于點Q，設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），求證：直線NM經過定點．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）根據斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達定理求點的坐標，根據直線與以為直徑的圓的另一個交點為，得，從而得到直線的方程，確定恒過的定點.
試題解析：(Ⅰ)設,由得  ,其中,
整理得點的軌跡方程為.                   (4分)
（Ⅱ）設點，則直線的方程為，
解方程組，消去得，
設，則，，（8分）
從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個交點為，，
方程為,即,過定點,        (12分)