Question

【題目】已知a，b∈R+ ， m，n∈N* ． （Ⅰ）求證：（an+bn）（am+bm）≤2（am+n+bm+n）；
（Ⅱ）求證： ≤ ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）2（am+n+bm+n）﹣（an+bn）（am+bm）=am+n+bm+n﹣anbm﹣anbm=am（an﹣bn）+bm（bn﹣an）=（am﹣bm）（an﹣bn）；
①若a≥b＞0則，am≥bm＞0，an≥bn＞0，可得（am﹣bm）（an﹣bn）≥0；
②若0＜a＜b，則0＜am＜bm ， 0＜an＜bn ， 可得（am﹣bm）（an﹣bn）＞0；
綜上所述總有（am﹣bm）（an﹣bn）≥0
故（an+bn）（am+bm）≤2（am+n+bm+n）．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得（a+b）（a2+b2）≤2（a3+b3），
即有（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≤2（a3+b3）（a3+b3）≤4（a6+b6）
則有 ≤
【解析】（Ⅰ）作差可得2（am+n+bm+n）﹣（an+bn）（am+bm），展開運用因式分解，推理a，b的大小，即可得證；（Ⅱ）分別令n=1，m=2，以及m=n=3，運用（Ⅰ）的結論，即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．